2023北师大版新教材高中数学选择性必修第一册
§3组合问题
3.1组合3.2组合数及其性质
基础过关练
题组一组合与组合数公式
1.以下5个命题，属于组合问题的有（）
①从1,2,3,…,9九个数字中任取三个，组成一个无重复数字的三位数;②从
1,2,3,…,9九个数字中任取三个,然后把这三个数字相加得到一个和,这样的和
的个数;③从a,b,c,d四名学生中选两名去完成同一份工作的选法;④5个人规定
相互通话一次,通电话的次数;⑤5个人相互写一封信,所有信的数量.
A.2个B.3个C.4个D.5个
2.（2020福建宁德期末）若2A公3髭,则n=（）
A.9B.8C.7D.6
3.（2022黑龙江哈尔滨第三中学月考）不等式强-*目的解集
c*c%cx
为.
3+C3-
4.（2020湖南长沙期中）C尹方+/+•2192-.（用组合数表示即
可）
5.⑴求值:%F+C公七
⑵已知逐一喏一1。中求*
题组二组合的简单应用
6.（2020黑龙江哈尔滨第六中学期末）从7名男生和5名女生中任选4人参加夏
令营，规定男、女生至少各有1人参加，则选法总数为（）
C1C1C2C1C1A2
751O751O
C.Cj2-C1-CfD.C?C|（Ci+CjCj+Cj）
7.（2020四川成都模拟）将标号为1,2,3,4,5,6的6个小球放入三个不同的盒子
中，若每个盒子放2个小球,其中标号为1,2的小球放入同一个盒子中，则不同的
方法共有（）
A.12种B.16种C.18种D.36种
8.（2020辽宁沈阳铁路实验中学期中）10个相同的小球放入3个编号为1,2,3的
盒中,每盒至少放1个,有种放法.
9.如图，ZM0N的边0M上有四个点Ai,A2,A3,A4,边ON上有三个点B„B2,B3,则以
0,A1,A2,A3,A,bB„B2,B3为顶点的三角形的个数为.
10.（2021江西景德镇一中期中）有10本相同的书要送给5位同学，其中甲、乙两
位同学每人至少2本,其余每人至少一本,则不同的分配方案有种.（用
数字作答）
11.现准备将7台型号相同的健身设备全部分配给5个不同的社区，其中甲、乙
两个社区每个社区至少2台，其他社区允许1台也没有,则不同的分配方案有
种.
12.6人坐在排成一排的10个座位上，问:
（1）空位不相邻的坐法有多少种？
(2)4个空位只有3个相邻的坐法有多少种？
(3)4个空位至多有2个相邻的坐法有多少种?
题组三排列与组合的综合应用
13.(2021福建泉州十一中等六校期末)将4名冬季运动会志愿者分配到花样滑冰、
短道速滑、冰球3个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至
少分配1名志愿者,则不同的分配方案共有()
A.48种B.36种
C.24种D,12种
14.（2020陕西咸阳期末）2020年是脱贫攻坚年，为顺利完成“两不愁，三保障”，
即农村贫困人口不愁吃、不愁穿，农村贫困人口义务教育、基本医疗、住房安全
有保障.某市拟派出6人组成三个帮扶队,每队两人,对脱贫任务较重的甲、乙、
丙三县进行帮扶,则不同的派出方法共有种.
15.（2020浙江绍兴月考）某宾馆安排A、B、C、D、E五人入住3个房间，每个房
间至少住1人,则共有种不同的安排方法.（用数字作答）
16.（2020河北保定月考）2020年是我国脱贫攻坚决战决胜之年,某县农业局为支
持该县的扶贫工作，决定派出8名农技人员（5男3女），并分成两组,分配到2个
贫困村进行扶贫工作,若每组至少3人,且每组都有男农技人员，则不同的分配方
案共有种.
17.从1,2,…,7这7个数字中任取两个偶数和三个奇数组成没有重复数字的五
位数.试问：
（1）一共能组成多少个不同的五位偶数？
（2）组成的五位数中，两个偶数排在一起的有几个？
（3）两个偶数不相邻且三个奇数也不相邻的五位数有几个？（所有结果均用数字表
示）
答案与分层梯度式解析
基础过关练
1.B①取出三个数字后，改变这三个数字的顺序,会得到不同的三位数,所以此
问题与顺序有关,是排列问题;②取出三个数字之后,无论怎样改变这三个数字的
顺序,其和均不变,此问题只与取出的元素有关,与元素的顺序无关,是组合问
题;③两名学生完成的是同一份工作，没有顺序,是组合问题;④甲与乙通一次电
话,也就是乙与甲通一次电话,与顺序无关,是组合问题;⑤发信人与收信人是有
区别的,是排列问题.故属于组合问题的有3个.故选B.
2.D2A卷=3量，则2n(n-l)=3X丝包且,整理,得4=n-2,解得n=6,故选D.
"3x2x1
3.答案｛5,6,7,8,9,10,11)
解析由题意得x25,x£N.
昭不等式为6______24____(______2A0______
八x(x-l)(x-2)x(x-l)(x-2)(x-3)x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)J
即X2-11X-12<0,解得
又x25,xGN,所以xG{5,6,7,8,9,10,11}.
4.答案C2021
解析Cl=Ci，C壮第二皓禺+年皓C"皆爵,……,C%2O+C%2O=C%21，
•*,Cg+禺+髭+…+C§019+^2020=^2021-
5—n<n,
2一”°二1解得4<nW5,
9—n<n+1,
(9—n>0,
VneN+,.
=4^n=5.
当n=4时,原式=禺+/=5;
当n=5时，原式=Cg+C?=16.
(2)由题意可知m的取值范围为{m|0WmW5,m£N},
由已知得m!(5-m)!m!(6-m)!7m!(7-m)!
5!6!10x7!
即10m=(7-m)(6-m),
整理得m-23m+42=0,解得m=21(舍去)或m=2,AC^=Cl=28.
6.C任选4人的方法数为C%,其中全部为男生或全部为女生的方法数为G+Cg,
故选法总数为C%-0-谶.故选C.
7.C先从三个盒子中选一个放标号为1,2的小球,有3种不同的选法,再从剩下
的4个小球中选2个,放入剩下的其中一个盒子有此种放法,余下的放入最后一
个盒子,则不同的方法共有3位=18种,故选C.
8.答案36
解析依据题意,本题可转化为将10个相同的小球分成3组,每组至少1个.可
将10个小球排成一列,在排除两端的9个空位中任取2个,插入隔板即可，因此
共有釐=36种放法.
9.答案42
解析先从这8个点中任取3个,有喘种情况,再减去三点共线的情况即可.故所
求三角形的个数为喘-C卜量=42.
10.答案35
解析5位同学每人分1本，因为甲、乙两位同学每人至少2本，所以剩余的5本
至少分成两份，利用“隔板法”如下：
分成两份,给甲、乙，共禺=4种分法；
分成三份,给甲、乙和另一名学生，共第•玛=18种分法；
分成四份,给甲、乙和另两名学生，共出・第=12种分法；
分成五份,五名学生再每人1本，共1种分法.
所以不同的分配方案有4+18+12+1=35种.
11.答案35
解析根据题意,7台型号相同的健身设备是相同的元素，首先要满足甲、乙两个
社区每个社区至少2台，可以先分给甲、乙两个社区各2台设备,余下的3台设
备任意分给五个社区，分三种情况讨论：
①当3台设备都给一个社区时,有5种结果；
②当3台设备按1和2分给两个社区时,有2义髭=20种结果；
③当3台设备按1,1,1分给三个社区时一,有髭=10种结果.
综上可知，不同的分配方案有5+20+10=35种.
12.解析6人全排列有A3种排法,6人排好后包括两端共有7个“间隔”可以插
入空位.
(1)空位不相邻相当于将4个空位安排在上述7个“间隔”中，有第种排法，故空
位不相邻的坐法有A^X0=25200种.
(2)将相邻的3个空位看成一个元素,另一个空位看成另一个元素,安排在7个
“间隔”中，有A5种排法，故4个空位中只有3个相邻的坐法有A3XA>30240
种.
(3)4个空位至多有2个相邻的情况有三类：
①4个空位各不相邻,有禺种坐法；
②4个空位2个相邻，另2个不相邻,有GX髭种坐法；
③4个空位分两组,每组都有2个相邻,有的种坐法.
综上，有A3义(的+GX髭+的)=115920种坐法.
13.B先将4人分为3组,其中一组有2人,另外两组各1人,共有第种分法;然
后将3个项目全排列,共有A豺中排法.根据分步乘法计数原理可得不同的分配方
案共有鬣•Al=36种，故选B.
14.答案90
解析根据题意,首先将6人平均分成3组,有笔等=15种分组方法,然后将分好
A3
的三组对应甲、乙、丙三个贫困县，有A26种情况，则有15X6=90种派出方法.
易错警示平均分组，比如四个人平均分成两组，即两人为一组的所有选法有
p2