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七年级数学（人教版上）同步练习第一章

第五节 有理数的乘方

一. 教学内容：

有理数的乘方

1. 乘方的意义，会用乘法的符号法则进行乘方运算；

2. 会用科学记数法表示较大的数，理解近似数和有效数字表示的意义；

3. 了解科学记数法在实际生活中的作用。

二. 知识要点：

1. 有理数乘方的意义

求n个相同因数的积的运算，叫做乘方。

一般地， 记作an。

乘方的结果叫做幂，在an中，a叫做底数，n叫做指数，an从运算的角度读作a的n次方，从结果的角度读作a的n次幂。

注：（1）一个数可以看作这个数本身的一次方。

（2）当底数是负数或分数时，要先用括号将底数括上，再在其右上角写指数，指数要写小些。 

（3）乘方是一种运算，是一种特殊的乘法运算（因数相同的乘法运算），幂是乘方的运算的结果。

2. 乘方运算的性质

（1）正数的任何次幂都是正数；

（2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；

（3）任何数的偶次幂都是非负数；

（4）－1的偶次幂得1，－1的奇次幂得－1；1的任何次幂都得1；

（5）现在学习的幂的指数都是正整数，在这个条件下，0的任何次幂都得0。

3. 有理数的混合运算顺序

（1）先乘方，再乘除，最后加减。（2）同级运算，从左到右进行。（3）如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。

4. 科学记数法

把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，像这样的记数方法叫作科学记数法。

注：科学记数法是有理数的一种记数形式，这种形式就是a×10n，它由两部分组成：a和10n，两者相乘，其中a大于或等于1，且小于10（即1≤a＜10），它是由原来的小数点向左移动后的结果，也就是说，a与原数只是小数点位置不同。指数n是正整数，等于原数化为a时小数点移动的位数，用科学记数法表示一个数时，10的指数比原数的整数位数小1。

5. 近似数和有效数字

（1）近似数

与实际完全符合的数是准确数。与实际有一点偏差但又非常接近的数称为近似数。  

（2）精确度

近似数的近似程度，也就是精确度。

一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位。

（3）有效数字

四舍五入后的近似数，从左边第一个不是0的数字起，到精确到的位数止，所有的数字，都叫作这个数字的有效数字。如：近似数23.8精确到十分位，有三个有效数字2，3，8。

注：①对于0.006080，左边第一个不是0的数字是6，左边的三个0都不是有效数字，但6和8之间的0，和最后的0都是有效数字。②精确度一般有两种形式：一是精确到哪一位；二是保留几个有效数字。③规定有效数字的个数，也是对近似数精确程度的一种要求。一般说，对于同一个数取近似值时，有效数字个数越多，精确程度越高。

三. 重点难点：

1. 重点：①能够运用有理数乘方的运算法则进行乘方运算；②会用科学记数法表示较大的数；③能够根据具体要求表示近似数。

2. 难点：①如何确定幂的符号；②小数的有效数字的个数。

【典型例题】

例1. 填空：

（1）（－4）2＝__________，－42＝__________；

（2）－（－4）2＝__________，－（－42）＝__________；

（3）（－）3＝__________，－（）＝__________；

（4）（－2）5＝__________，（－3）4＝__________。

分析：（1）（－4）2表示两个－4相乘，－42表示42的相反数，即－42＝－（4×4）＝－16； 

（2）－（－4）2表示－4的平方的相反数，即－（－4）×（－4）＝－16，－（－42）表示4的平方的相反数的相反数，即－（－42）＝42＝4×4＝16； 

（4）（－2）5表示5个－2相乘，由符号法则知，结果为负，即（－2）5＝-32，（-3）4表示4个－3相乘，由符号法则知，结果为正，即（－3）4＝81。

解：（1）16，－16  （2）－16，16   （4）－32，81

评析：有理数的乘方是转化为乘法进行计算的，在计算时，一定要分清幂的底数，如：（－4）2的底数是－4，－42的底数是4，－42的意义是“4的平方的相反数”。

例2. 计算：

（1） （2）（－0.75）3；（3）（－1）101。

分析：把带分数转化成假分数，小数化为分数，再根据乘方的意义与乘方运算的符号法则进行计算。

（3）（－1）101＝－1。

评析：乘方是一种积的运算，幂是乘方的运算结果，运算时，先确定符号，再算绝对值。

例3.  ＝__________。

分析：有理数的混合运算顺序是：先算乘方，再乘除，最后算加减，有括号的先算括号里的运算。 

解： 

评析：本例题主要考查有理数混合运算的运算顺序，以及符号的确定方法。

例4. “嫦蛾一号”第一次入轨运行的椭圆轨道如图所示，其中黑色圆圈表示地球，其半径R＝6371km，A是近地点，距地球205km，B是远地点，距地球50930km（已知地心，近地点，远地点在一条直线上），则AB＝__________km（用科学计数法表示）。

分析：AB＝205＋2×6371＋50930＝63877（km），我们可按科学记数法的表示方法来表示。事实上，a＝6.3877，然后看小数点向左移动了几位，那么n即为几。

解：6.3877×104

评析：用科学记数法表示一个数时，10的指数n等于原数化为a时小数点移动的位数，n比原数的整数位数小1。

例5. 下列说法中正确的是（   ）

A. 近似数1.70与近似数1.7的精确度相同

B. 近似数5百与近似数500的精确度相同

C. 近似数4.70×104是精确到百位的数，它有三个有效数字4、7、0

D. 近似数24.30是精确到十分位的数，它有三个有效数字2、4、3

分析：近似数1.70精确到0.01，1.7精确到0.1，故A错；近似数5百精确到百位，近似数500精确到个位，故B错；近似数4.70×104的有效数字只与4.70有关，与104无关，它有三个有效数字4、7、0。精确度由所得近似数的最后一位有效数字在该数中所处的位置决定，而4.70×104＝47000，本题中有效数字0在47000中处在百位，故精确到百位，C对；近似数24.30精确到百分位，故D错。

解：C

评析：（1）计算有效数字的个数时，抠住有效数字的意义，从左边第一个不是0的数字起，到精确到的数位止，中间所有的数字，包括0，重复的数字都不能漏掉。（2）近似数后面有单位时，如百、千、万，还有用科学记数法表示的数，其有效数字与单位无关，而精确度应该与单位统一起来考虑。

例6. 观察下列算式：

31＝3  32＝9  33＝27  34＝81

35＝243  36＝729  37＝2187  38＝6551 

通过观察，用你发现的规律，判断出3101的末位数字是__________。

分析：通过观察，3n每循环4次，末位数字（个位）就出现周期变化。

当n＝4k＋1时，34k＋1的个位数为3

当n＝4k＋2时，34k＋2的个位数为9

当n＝4k＋3时，34k＋3的个位数为7

当n＝4k时，34k的个位数为1

而101＝4×25＋1，于是3101的末位数是3。

解：3

评析：由特殊到一般发现规律后，再去解决特殊的情形，这种对比发现，归纳的方法是一种学习数学的常见的思维技巧，请同学们一定要多体会、多摸索。

【方法总结】

1. 掌握有理数混合运算的顺序。

2. 归纳、猜想型问题的解决步骤：将问题抽象为数学问题——从特例入手——对比分析——归纳出一般性的结论——用这个一般性的结论去解决实际问题。

【模拟试题】（答题时间：45分钟）

一. 选择题

1. 下列说法正确的是（   ）

A. －23的底数是－2      B. 2×32的底数是2×3

2. 下列各组数中，其值相等的是（   ）

A. 32和23                    B. （－2）3和－23

C. －32和（－3）2       D. （－3×2）2和（－3×22）

3. 下列各式计算正确的是（   ）

A. －24＝－8        B. －（－2）2＝－4

4. （2007年辽宁）在“2008北京”奥运会国家体育场的“鸟巢”钢结构工程施工建设中，首次使用了我国科研人员自主研制的强度为4.6×108帕的钢材，那么4.6×108的原数为（   ）

A. 4600000            B. 46000000         

C. 460000000          D. 4600000000

5. 一个数的平方等于它本身，则这个数一定是（   ）

A. 0             B. 1                     

C. 0或1           D. ±1 

6. 一个数的立方等于它本身，则这个数是（   ）

A. 1,－1                 B. －1,0              

C. 0,1                  D. 1,－1,0

7. 下列各式计算不正确的是（   ）

A. （－1）2008＋（－1）2009＝0        B. －24÷23＝－3

8. a是最大的负整数，b是绝对值最小的有理数，

9. 3月5日，温家宝总理在《政府工作报告》中，讲述了六大民生新亮点，其中之一就是全部免除了西部地区和部分中部地区农村义务教育阶段约52000000名学生的学杂费，这个数据用科学记数法表示为（保留两个有效数字）（   ）

A. 52×107             B. 5.2×107          

C. 5.2×108             D. 52×108

10.观察下列算式：21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64，27＝128，28＝256……通过观察，用你所发现的规律写出811的末位数字是（   ）

A. 2             B. 4                    C. 6                       D. 8

二. 填空题

1. 在（－2）3中，底数是__________，指数是__________。

2. （）10表示的意义是__________。

3. 用“＜”号把数：－（－5），－︱－3︱，0,－110,（－1）2连接起来：____________________。

4.吉林省全面实施义务教育经费保障机制，全部免除农村约2320000名学生的学杂费，2320000名用科学记数法表示为__________名。

5.把12500取两个有效数字的近似数用科学记数法表示为__________。

6.已知an＝（－1）n＋1，当n＝1时，a1＝0；当n＝2时，a2＝2；当n＝3时，a3＝0；… 则a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6的值为__________。

7. 你喜欢吃拉面吗？拉面馆的师傅用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合，反复几次就把这根很粗的面条拉成了许多细的面条。

这样捏合到第__________次后可拉出128根细面条。

8. 1883年，康托尔构造的这个分形，称做康托尔集，从数轴上单位长度线段开始，康托尔取走其中间三分之一而达到第一阶段；然后从每一个余下的三分之一线段中取走其中间三分之一而达到第二阶段. 无限地重复这一过程，余下的无穷点集就称做康托尔集。下图是康托尔集的最初几个阶段，当达到第八个阶段时，余下的所有线段的长度之和为__________。

三. 解答题

1. 计算：

（1）（－1）－（－1）－14

（2）（－3）×（－2）3＋（－6）2×（－ ）

（3）（－1）2×5＋（－1）×52－12×5＋（－1×5）2

2. 计算：

3. 猜猜我是谁：

（1）“我的平方是我本身，谁与我相乘却都是一个定值。”

（2）“我的绝对值和我的倒数是同一个数。”

（3）“我除以－2的商，等于3与（－6）的积。”

4. 用四舍五入法写出下列各数的近似数：

（1）2.458（精确到0.01）

（2）0.02664（精确到0.001）

（3）27.98（精确到十分位）

（4）316.49（精确到个位）

（5）380290040（保留三个有效数字）

5. 地球上的海洋面积约为3.6×108平方千米，请问3.6×108表示的原数是什么？

6. 按要求求1295330000的近似数，并指出其有效数字的个数。

（1）精确到百万位；（2）精确到亿位。

四. 用简便方法计算：

1＋2－3－4＋5＋6－7－8＋…＋2005＋2006－2007－2008

五. 探索题

问题：你能很快算出19952吗？

为了解决这个问题，我们考虑个位上的数字为5的自然数的平方，任意一个个位数是5的自然数的平方可写成（10?n＋5）2的值（n为自然数）。请你试着分析n＝1，n＝2，n＝3，…，这些简单情况，从中探索其规律，并归纳、猜想出结论（在下面空格内填上你的探索结果）。

（1）通过计算，探索规律：

152＝225      可写成100×1×（1＋1）＋25，

252＝625      可写成100×2×（2＋1）＋25，

352＝1225     可写成100×3×（3＋1）＋25，

452＝2025     可写成100×4×（4＋1）＋25，

……

752＝5625     可写成____________________，

852＝7225     可写成____________________。

（2）从第（1）题的结果，归纳、猜想得：（10n＋5）2＝__________。

（3）根据上面的归纳、猜想，请算出：19952＝__________。

【试题答案】

一. 选择题

1. C   2. B   3. B   4. C   5. C   6. D   7. D   8. A   9. B   10. D

二. 填空题 

1. －2，3   2.     3. －︱－3︱＜－110＜0＜（－1）2＜－（－5）

4. 2.32×106   5. 1.3×104   6. 6   7. 7   8.  

三. 解答题

1. （1）原式＝－1

（2）原式＝24－4＝20

（3）原式＝5－25－5＋25＝0

3. （1）0   （2）1   （3）根据题意得：3×（－6）×（－2）＝36

4. （1）2.46   （2）0.027   （3）28.0  （4）316  （5）3.80×108

5. 360000000

6. （1）1.295×109，有4个有效数字  

（2）13亿，有2个有效数字

四. 

原式＝（－4）＋（－4）＋…（－4）＝（－4）×502＝－2008

五. 752＝5625可写成：100×7×（7＋1）＋25

852＝7225可写成：100×8×（8＋1）＋25

（10n＋5）2＝100×n×（n＋1）＋25

19952＝100×199×200＋25＝3980025