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七年级数学（人教版上）同步练习第三章 

第三节 解一元一次方程(二)

一. 本周教学内容：

   一元一次方程（二）

列方程解应用题，是初中数学的重要内容之一。许多实际问题都归结为解一种方程或方程组，所以列出方程或方程组解应用题是数学联系实际，解决实际问题的一个重要方面；同时通过列方程解应用题，可以培养我们分析问题，解决问题的能力。因此我们要努力学好这部分知识。 

列方程解应用题的主要步骤：

1. 认真审题，理解题意，弄清题目中的数量关系，找出其中的等量关系；

2. 用字母表示题目中的未知数，并用这个字母和已知数一起组成表示各数量关系的代数式；

3. 利用这些代数式列出反映某个等量关系的方程（注意所使用的单位一定要统一）；

4. 求出所列方程的解；

5. 检验所求的解是否使方程成立，又能使应用题有意义，并写出答案。

【学习提示】

一. 数字问题： 

（1）要搞清楚数的表示方法：一个三位数的百位数字为a，十位数字是b，个位数字为c（其中a、b、c均为整数，且1≤a≤9， 0≤b≤9， 0≤c≤9）则这个三位数表示为：100a＋10b＋c。

（2）数字问题中一些表示：两个连续整数之间的关系，较大的比较小的大1；偶数用2N表示，连续的偶数用2N＋2或2N—2表示；奇数用2N＋1或2N—1表示。

例1. 一个三位数，三个数位上的数字之和是17，百位上的数比十位上的数大7，个位上的数是十位上的数的3倍，求这个三位数

[分析]由已知条件给出了百位和个位上的数的关系，若设十位上的数为x，则百位上的数为X＋7，个位上的数是3X，等量关系为三个数位上的数字和为17。 

解：设这个三位数十位上的数为X，则百位上的数为X＋7，个位上的数是3X

X＋X＋7＋3X＝17      解得X＝2

X＋7＝9，3X＝6   答：这个三位数是926

例2. 一个两位数，个位上的数是十位上的数的2倍，如果把十位与个位上的数对调，那么所得的两位数比原两位数大36，求原来的两位数

等量关系：原两位数＋36＝对调后新两位数

解：设十位上的数字X，则个位上的数是2X，

10×2X＋X＝（10X＋2X）＋36解得X＝4，2X＝8，答：原来的两位数是48。

二. 工程问题： 

　　工程问题中的三个量及其关系为：工作总量＝工作效率×工作时间 

经常在题目中未给出工作总量时，设工作总量为单位1。

例3. 一件工作，甲独作10天完成，乙独作8天完成，两人合作几天完成？

[分析]甲独作10天完成，说明的他的工作效率是1/10，乙的工作效率是1/8

等量关系是：甲乙合作的效率×合作的时间＝1

解：设合作X天完成        （1/10＋1/8）X＝1    解得X＝40/9

答：两人合作40/9天完成 

例4. 一件工程，甲独做需15天完成，乙独做需12天完成，现先由甲、乙合作3天后，甲有其他任务，剩下工程由乙单独完成，问乙还要几天才能完成全部工程？ 

[分析]设工程总量为单位1，等量关系为：甲完成工作量＋乙完成工作量＝工作总量。 

　　解：设乙还需x天完成全部工程，设工作总量为单位1，由题意得，( ＋ )×3＋ ＝1，　　解这个方程， ＋ ＋ ＝1 　　　　　

12＋15＋5x＝60      5x＝33　　　∴ x＝ ＝6 

　　答：乙还需6 天才能完成全部工程。

例5. 一个蓄水池有甲、乙两个进水管和一个丙排水管，单独开甲管6小时可注满水池；单独开乙管8小时可注满水池，单独开丙管9小时可将满池水排空，若先将甲、乙管同时开放2小时，然后打开丙管，问打开丙管后几小时可注满水池？ 

　　[分析]等量关系为：甲注水量＋乙注水量－丙排水量＝1。 

　　解：设打开丙管后x小时可注满水池， 

　　由题意得，( ＋ )(x＋2)－ ＝1 

　　解这个方程， (x＋2)－ ＝1 

　　 　 　　 　　 21x＋42－8x＝72

　　　　　　 　　 　 　 13x＝30 

　　∴ x＝ ＝2 

　　答：打开丙管后2 小时可注满水池。 

三. 行程问题： 

　　[解题指导] 

　　（1）行程问题中的三个基本量及其关系： 路程＝速度×时间。 

　　（2）基本类型有

　　　　 1）相遇问题；

　　　　 2）追及问题；常见的还有：相背而行；行船问题；环形跑道问题。 

　　（3）解此类题的关键是抓住甲、乙两物体的时间关系或所走的路程关系，一般情况下问题就能迎刃而解。并且还常常借助画草图来分析，理解行程问题。 

　　例6. 甲、乙两站相距480公里，一列慢车从甲站开出，每小时行90公里，一列快车从乙站开出，每小时行140公里。 

　　（1）慢车先开出1小时，快车再开。两车相向而行。问快车开出多少小时后两车相遇？ 

　　（2）两车同时开出，相背而行多少小时后两车相距600公里？ 

　　（3）两车同时开出，慢车在快车后面同向而行，多少小时后快车与慢车相距600公里？ 

　　（4）两车同时开出同向而行，快车在慢车的后面，多少小时后快车追上慢车？ 

　　（5）慢车开出1小时后两车同向而行，快车在慢车后面，快车开出后多少小时追上慢车？ 

　　此题关键是要理解清楚相向、相背、同向等的含义，弄清行驶过程。故可结合图形分析。 

（1）分析：相遇问题，画图表示为： 

等量关系是：慢车走的路程＋快车走的路程＝480公里。　　

解：设快车开出x小时后两车相遇，由题意得，140x＋90(x＋1)＝480 　　

解这个方程，230x＝390 　　　　　　　　

∴ x＝1 

答：快车开出1 小时两车相遇

分析：相背而行，画图表示为：　　

等量关系是：两车所走的路程和＋480公里＝600公里。 

　　解：设x小时后两车相距600公里，

由题意得，(140＋90)x＋480＝600解这个方程，230x＝120 　　　　　　　　

∴ x＝ 

　　答： 小时后两车相距600公里。 

　　（3）分析：等量关系为：快车所走路程－慢车所走路程＋480公里＝600公里。 

　　解：设x小时后两车相距600公里，由题意得，(140－90)x＋480＝600 　　　　　　　　　 50x＝120　　　　　　　

∴ x＝2.4 

　　答：2.4小时后两车相距600公里。 

分析：追及问题，画图表示为：

等量关系为：快车的路程＝慢车走的路程＋480公里。 　　

解：设x小时后快车追上慢车。 

由题意得，140x＝90x＋480 　　

解这个方程，50x＝480 　∴ x＝9.6

答：9.6小时后快车追上慢车。

分析：追及问题，等量关系为：快车的路程＝慢车走的路程＋480公里。

解：设快车开出x小时后追上慢车。由题意得，140x＝90(x＋1)＋480 　　　　　　　 50x＝570 　　　∴ x＝11.4 　　

答：快车开出11.4小时后追上慢车。 

例7. 甲乙两人在同一道路上从相距5千米的A、B两地同向而行，甲的速度为5千米/小时，乙的速度为3千米/小时，甲带着一只狗，当甲追乙时，狗先追上乙，再返回遇上甲，再返回追上乙，依次反复，直至甲追上乙为止，已知狗的速度为15千米/小时，求此过程中，狗跑的总路程是多少？

[分析]]追击问题，不能直接求出狗的总路程，但间接的问题转化成甲乙两人的追击问题。狗跑的总路程＝它的速度×时间，而它用的总时间就是甲追上乙的时间

解：设甲用X小时追上乙，根据题意列方程

   5X＝3X＋5   解得X＝2.5，狗的总路程：15×2.5＝37.5

答：狗的总路程是37.5千米。

例8. 某船从A地顺流而下到达B地，然后逆流返回，到达A、B两地之间的C地，一共航行了7小时，已知此船在静水中的速度为8千米/时，水流速度为2千米/时。A、C两地之间的路程为10千米，求A、B两地之间的路程。 

[分析]这属于行船问题，这类问题中要弄清：

（1）顺水速度＝船在静水中的速度＋水流速度；

（2）逆水速度＝船在静水中的速度－水流速度。相等关系为：顺流航行的时间＋逆流航行的时间＝7小时。 

　　解：设A、B两码头之间的航程为x千米，则B、C间的航程为(x－10)千米，  

　　由题意得，X/（8＋2） ＋（X－10）/（8－2）＝7 

　　解这个方程，X/10 ＋（X－10）/6＝7，　　　 ∴ x＝32.5 

　　答：A、B两地之间的路程为32.5千米。 

四. 利润赢亏问题

1）销售问题中常出现的量有：进价、售价、标价、利润等

2）有关关系式： 

商品利润＝商品售价—商品进价＝商品标价×折扣率—商品进价

商品利润率＝商品利润/商品进价           

商品售价＝商品标价×折扣率

例9. 某商店开张，为了吸引顾客，所有商品一律按八折优惠出售，已知某种皮鞋进价60元一双，八折出售后商家获利润率为40%，问这种皮鞋标价是多少元？优惠价是多少元？

    [分析]通过列表分析已知条件，找到等量关系式进价 折扣率 标价 优惠价 利润率

60元 8折 x元 80%x 40%

等量关系：商品利润率＝商品利润/商品进价  

解：设标价是x元，

解之：x＝105

优惠价为80%x＝ （元）

例10. 一家商店将某种服装按进价提高40%后标价，又以8折优惠卖出，结果每件仍获利15元，这种服装每件的进价是多少？

[分析]探究题目中隐含的条件是关键，可直接设出成本为X元

进价 折扣率 标价 优惠价 利润 

X元 8折 （1＋40%）X元 80%（1＋40%）X 15元

等量关系：（利润＝折扣后价格—进价）折扣后价格－进价＝15

解：设进价为X元，80%X（1＋40%）—X＝15，X＝125

答：进价是125元。

五. 储蓄问题

1）顾客存入银行的钱叫做本金，银行付给顾客的酬金叫利息，本金和利息合称本息和，存入银行的时间叫做期数，利息与本金的比叫做利率。利息的20%付利息税

2）利息＝本金×利率×期数        

本息和＝本金＋利息       

利息税＝利息×税率（20%）

例11. 某同学把250元钱存入银行，整存整取，存期为半年。半年后共得本息和252.7元，求银行半年期的年利率是多少？（不计利息税）

[分析]等量关系：本息和＝本金×（1＋利率）

解：设半年期的实际利率为X，

250（1＋X）＝252.7 

X＝0.0108 

所以年利率为0.0108×2＝0.0216 

答：银行的年利率是2.16%

例12. 为了准备6年后小明上大学的学费20000元，他的父亲现在就参加了教育储蓄，下面有三种教育储蓄方式：

1）直接存入一个6年期；

2）先存入一个三年期，3年后将本息和自动转存一个三年期；

3）先存入一个一年期的，后将本息和自动转存下一个一年期；你认为哪种教育储蓄方式开始存入的本金比较少？

[分析]这种比较几种方案哪种合理的题目，我们可以分别计算出每种教育储蓄的本金是多少，再进行比较。

解：1）设存入一个6年的本金是X元      

X（1＋6×2.88%）＝20000，

X＝17053

2）设存入两个三年期开始的本金为Y元，

Y（1＋2.7%×3）（1＋2.7%×3）＝20000，X＝17115

3）设存入一年期本金为Z元 ，

Z（1＋2.25%）6＝20000，Z＝17894

所以存入一个6年期的本金最少。 

六. 日历中的方程

例13. 1）在一份日历中，任意框出一个竖列上相邻的四个数，观察他们之间是什么关系？如果框出的四个数的和为58，这四天分别是几号？

2）如果用一个正方形所圈出的4个数的和为76，这四天分别是几号？

[分析]观察、分析四个数的关系，设法用一个未知数圈出的四个数

解：1）设竖列的四个数中最小的一个是X，其余三数分别为X＋7，X＋14，X＋21

X＋X＋7＋X＋14＋X＋21＝58，X＝4。所以这四个数是4号，11号，18号，25号

2）设四个数中最大的一个数Y，其余三个数是Y—1，Y—7，Y—8

Y＋Y－1＋Y－7＋Y－8＝76，Y＝23，所以这四个数是15、16、22、23

注意：虽然我们分了几种类型对应用题进行了研究，但实际生活中的问题是千变万化的，远不止这几类问题。因此我们要想学好列方程解应用题，就要学会观察事物，关心日常生产生活中的各种问题，如市场经济问题等等，要会具体情况具体分析，灵活运用所学知识，认真审题，适当设元，寻找等量关系，从而列出方程，解出方程，使问题得解。

【模拟试题】（答题时间：40分钟）

1. 一个三位数，它的个位上的数比百位上的数的3倍大1，它的十位上的数比百位上的数的4倍小3，如果把这个三位数的十位上的数与百位上的数对换，得到的三位数比原来的三位数大270，求原来的三位数。

2. 一个四位数，左边第一位数字是7，若把这个数字调到末位，得到的新数比原来四位数少864，求原来的数。

3. 一件工作，甲独作20小时完成，乙独作12小时完成，现在先由甲独作4小时，剩下的部分由甲乙合作，剩下的部分需几小时完成？

4. 一轮船从重庆到上海要5昼夜，而从上海到重庆要7个昼夜，那么有一竹排从重庆顺流漂到上海要多少天？ 

5. 一个水池共有A、B两个进水管和一个排水管C，单开A管6小时注满水池，单开B管10小时注满全池，单开C管9小时把水池中的水排完。若先同时打开A、B两管，向空池内注水，2.5小时后，打开C管，则打开C管几小时后可将水池中注满水？

设X小时以后可以注满，

6. 甲乙两站之间的路程为450千米，一列慢车从甲站开出，每小时行驶65千米，一列快车从乙站开出，每小时行驶85千米

（1）两车同时开出相向而行，几小时相遇？

（2）快车先开出30分钟后，两车相向而行，慢车行驶几小时两车相遇？ 

7. A、B两地的路程为100千米，小王骑车从A地到B地，小李跑步从B地到A地，小李出发三个半小时后，小王才出发，已知小王骑车的速度为10千米/小时，小李跑步的速度为8千米/小时，问两人各走几小时相遇？ 

8. 一队学生去校外郊游，以5千米/小时的速度行进，走了18分后学校将一重要通知传给队长，通讯员从学校出发，骑车以14千米/小时的速度按原路追上去，几小时可以追上队伍？

9. 一列快车长200米，速度为50千米/小时，一列慢车长250米，速度为30千米/小时，两车从相遇到分开共需几秒？ 

10. 某商店开张，为了吸引顾客，所有商品一律按8折优惠出售，已知某种皮鞋进价是60元，8折以后商家仍获利利润率为40%，这双皮鞋的标价是多少？优惠价是多少？ 

11. 某商店先在甲地以每件15元的价格购进商品10件，后来又以每件12.5元的价格在乙地购进同样的商品40件，如果商店销售这些商品时，获得12%利润率，商品售价应定为多少元？

12. 商品的进价为200元，标价为300元，折价销售时的利润率为5%，商品打了几折？ 

14. 某文艺团体为“希望工程”募捐组织了一场义演，共售出1000张票，募得票款6950元，成人票每张8元，学生票每张5元，问成人票和学生票各卖了多少张？

希望工程委员会决定把募捐款作为助学金发给山区的65名学生，其中每个初中生的助学金是150元，每个小学生的助学金为80元，问发给初中生和小学生各多少人？ 

15. 将若干支铅笔分给几个同学，若每人5支还剩3支；若每人7支还差5支，问有多少学生，有多少铅笔？ 

16. 有一些分别标有3、6、9、12…的卡片，后一张卡片上的数比前一张卡片上的数大3，小明拿到了相邻的3张卡片，且这些卡片上的数字之和是342，

（1）小明拿到了哪三张卡片？

（2）小明拿到相邻的3张卡片上的数字和能是95吗？

17. 在3点钟和4点钟之间，时钟上的分针和时针什么时候重合？ 

18. 某厂第一月和第二月共生产化肥848吨，已知增长率为12%，求一月的产量是多少吨？ 

【试题答案】

1. 设百位上的数字为X，257

2. 设后三个数字组成的三位数X，7681

3. 设X小时完成 ，6小时

4. 设竹排静水中的速度为A，水流速度为B，则

A＋B＝1/5，A－B＝1/7，解得A＝1/35，再用1/（1/35）＝35小时

5. 设X小时以后可以注满，（2.5/6）＋（2.5/10）＋X/6＋X/10－X/9＝1    X＝15/7

6. （1）设X小时相遇，65X＋85X＝450，X＝3

（2）设X小时，65X＋85×0.5＋85X＝450，X＝163/20

7. 设小王出发X小时后相遇，10X＋8（X＋3.5）＝100      X＝4 

8.设X小时追上，14X＝5×0.3＋5X，X＝1/6

9.设X秒，50X＋30X＝200＋250，X＝45/8

10. 105元，84元

11.设售价X元，X（10＋40）＝（15×10＋12.5×40）（1＋12%），X＝14.56

12. 7折

14.成人票650张，学生票350张，初中生有25人，小学生有40人

15.有学生4人，铅笔23支

16.（1）小明拿到了111，114，117

（2）X＝95/3，小明不可能拿到这样的三张 

17.分析：这个问题可以看作是环形跑道问题，把一圈看作是60个单位长度，分针与时针相距15个单位长度，时针在前，分针在后，时针每分钟走 个单位长，分针每分钟走一个单位长，两针同向而行，何时分针追上时针。 

　　解：设在3点过x分钟后，两针重合， 

　　由题意得：x－ x＝15 

　　解这个方程得：x＝16 

　　答：两针在3点过16 分时重合。 

18. 解：设一月的产量是x吨，由题意得 

　　x＋(1＋12%)x＝848 

　　2.12x＝848 　　x＝400 

　　答：一月的产量是400吨。

【励志故事】

永远做一个勤奋的人

    在美国，有一个人在一年之中的每一天里，几乎都做着同一件事：天刚放亮，就伏在打字机前开始一天的写作。这个男人名叫斯蒂芬?金，是国际上著名的小说大师。

    斯蒂芬?金的经历十分坎坷，他曾经潦倒得连电话费都交不出，电话公司因此而掐断了他的电话线。后来，他成了世界上著名的恐怖小说大师，整天稿约不断，常常是一部小说还在他的大脑中储存着，出版社高额的定金就支付给了他。如今，他算是世界大富翁了，可他仍然是在勤奋的创作中度过的。

    斯蒂芬?金的秘诀很简单，只有两个字：勤奋。一年之中，他只有三天时间是例外的，不写作。这三天是：生日，圣诞节，美国独立日（国庆节）。勤奋给他带来的好处是，永不枯竭的灵感。学术大师季羡林老先生曾经说过：“勤奋出灵感。”