一、知识要点

第 1 讲 定义新运算 定义新运算是指运用某种特殊符号来表示特定的意义，从而解答某些算式的一种运算。 解答定义新运算，关键是要正确地理解新定义的算式含义，然后严格按照新定义的计算程序，将数值代入，转化为常规的四则运算算式进行计算。 定义新运算是一种人为的、临时性的运算形式，它使用的是一些特殊的运算符号，如： *、△、⊙等，这是与四则运算中的“＋、－、×、÷”不同的。 新定义的算式中有括号的，要先算括号里面的。但它在没有转化前，是不适合于各种运算定律的。 二、精讲精练 【例题 1】假设 a*b=(a+b)+(a-b)，求 13*5 和 13*（5*4）。 【思路导航】这题的新运算被定义为：a*b 等于 a 和 b 两数之和加上两数之差。这里 的“*”就代表一种新运算。在定义 新运算中同样规定了要先算小括号里的。因此，在13*（5*4）中，就要先算小括号里的（5*4）。 练习 1： 13*5=（13+5）+（13-5）=18+8=26 5*4=（5+4）+（5-4）=10 13*（5*4）=13*10=（13+10）+（13-10）=26 1.将新运算“*”定义为：a*b=(a+b)×(a-b).。求 27*9。 2.设 a*b=a2+2b，那么求 10*6 和 5*（2*8）。 3.设 a*b=3a－b×1/2，求（25*12）*（10*5）。 【例题 2】设 p、q 是两个数，规定：p△q=4 ×q-(p+q)÷2。求 3△(4△6)。 【思路导航】根据定义先算 4△6。在这里“△” 是新的运算符号。 练习 2： 3△(4△6) ＝3△【4×6－（4+6）÷2】 ＝3△19 ＝4×19－（3+19）÷2 ＝76－11 ＝65 1．设 p、q 是两个数，规定 p△q＝4×q－（p+q）÷2，求 5△（6△4）。 设 p、q 是两个数，规定 p△q＝p2+（p－q）×2。求 30△（5△3）。 设 M、N 是两个数，规定 M*N＝M/N+N/M，求 10*20－1/4。 【例题 3】如果 1*5=1+11+111+1111+11111，2*4=2+22+222+2222， 3*3=3+33+333，4*2=4+44，那么 7*4= ；210*2= 。 【思路导航】经过观察，可以发现本题的新运算“*”被定义为。因此 7*4=7+77+777+7777=8638 1 / 1524 10*2=210+210210=210420 练习 3： 1．如果 1*5=1+11+111+1111+11111，2*4=2+22+222+2222， 3*3=3+33+333，……那么 4*4= 。 2．规定， 那么 8*5= 。 3．如果 2*1=1/2，3*2=1/33，4*3=1/444，那么（6*3）÷（2*6）= 。 【例题 4】规定②=1×2×3，③=2×3×4 ，④=3×4×5，⑤=4×5×6，……如果 1/⑥ －1/⑦ =1/⑦×A，那么，A 是几？ 【思路导航】这题的新运算被定义为：@ = （a－1）×a×（a＋1），据此，可以求出 1/⑥－ 1/⑦ =1/（5×6×7）－1/（6×7×8），这里的分母都比较大，不易直接求出结果。根据 1/⑥－1/ ⑦ =1/⑦×A，可得出 A = (1/⑥－1/⑦)÷1/⑦ = （1/⑥－1/⑦）×⑦ = ⑦/⑥ －1 。 即 练习 4：1．规定：②=1×2×3，③＝2×3×4， A =（1/⑥－1/⑦）÷1/⑦ =（1/⑥－1/⑦）×⑦ = ⑦/⑥－1 =（6×7×8）/（5×6×7）－1 = 1 又 3/5－1 = 3/5 ④＝3×4×5，⑤＝4×5×6，……如果 1/⑧－1/⑨＝1/⑨×A，那么 A= 。 2．规定：③＝2×3×4，④＝3×4×5，⑤＝4×5×6，⑥＝5×6×7，……如果 1/⑩+1/ ⑾＝1/⑾×□，那么□＝ 。 3．如果 1※2＝1+2，2※3＝2+3+4，……5※6＝5+6+7+8+9+10，那么 x※3＝54 中，x＝ 。 【例题 5】设 a⊙b=4a－2b+1/2ab,求 z⊙（4 ⊙1）＝34 中的未知数x。 【思路导航】先求出小括号中的 4⊙1=4× 4-2×1+1/2×4×1＝16，再根据 x⊙16＝4x－2× 16+1/2×x×16 = 12x－32，然后解方程 12x－ 32 = 34，求出 x 的值。列算式为 练习 5： 1．设a⊙b=3a－2b，已知x⊙（4⊙1）＝7 求 x。 对两个整数 a 和 b 定义新运算“△”：a△b= 对任意两个整数 x 和 y 定于新运算，“*”：x*y＝整数）。如果 1*2＝1，那么 3*12＝ 。