2023人教版新教材高中数学选择性必修第一册
1.3空间向量及其运算的坐标表示
1.3.1空间直角坐标系
1.3.2空间向量运算的坐标表示
基础过关练
题组一空间向量的坐标表示
1.(多选)(2022黑龙江齐齐哈尔八中期中)下列命题正确的是()
A.点(1,-2,3)关于平面Ozx的对称点为(1,2,3)
B.点出1,-3)关于y轴的对称点为G，L3)
C点(2,-1,3)到平面Oyz的距离为1
D.设i,j,k分别是x,y,z轴上的单位向量,若m=3i-2j+4k,则m=(3,-2,4)
2.(2022黑龙江绥化肇东四中期中)已知点A(l,1,-3妥B⑶1,-1),则线段AB的中
点M关于平面Oyz对称的点的坐标为()
A.(-2,1,-2)B.(2,1,-2)
C.(2,-1,-2)D.(2,1,2)
3.如图是一个正方体截下的一角P-ABC,其中PA=a,PB=b,PC=c.建立如图所示的空
间直角坐标系,则4ABC的重心G的坐标是_______.
题组二空间向量运算的坐标表示
4.(2021辽宁辽阳检测)若向量a=(2,0,-1),b=(0,1,-2),则2a-b=()
A.(-4,1,0)B.(-4,1,-4)
C.(4,-1,0)D.(4,-1,-4)
5.(2022河北任丘第一中学月考)设。为坐标原点，M⑸-1,2),A(4,2-1),若
加二荏，则点B的坐标为()
A.(-1,3,-3)B.(9,1,1)
C.(1,-3,3)D.(-9,-1,-1)
6.(2022河北石家庄第四中学月考)已知点A,B,C,D的坐标分别为
(0,1,2),(1,2,3),(1,3,1),(x,5,3),且A,B,C,D四点共面,则x=.
7.(2021天津静海检测)若向量a=(l,l,2),b=(l,2,l),c=(l,l,l),则
(c-a).2b=.
题组三利用空间向量的坐标运算解决平行和垂直问题
8.(2020浙江台州期末)已知A(l,5,-2),B(2,4,l),C(a,3,b+2)三点在同一条直线
上,那么()
A.a=3,b--3B.a=6,b=-l
C.a=3,b-2D.a=~2,b=l
9.(多选)(2022河北部分名校期中)已知a=(l,-1,1)是直线的一个方向向
量,b<2,2,-2)是直线12的一个方向向量,则下列说法不正确的是()
A.a•b=(；2,-2,-2)
B.1八
C.11±12
D.直线11,12夹角的余弦值为，
10.在AABC中，NC=90。，A(1,2,-3k),B(-2,1,0),C(4,0,-2k),则k=()
A.VToB.-VTO
C.2V5D.±V10
11.已知Ul=(l,2,3),赤(2,入，3),沆=(4,2,k),若OAL平面ABC,贝!)1+k的值
是()
4377
A.-B.-C.-D.-
3242
12.(2022天津河东期中)已知前=(-2,3,5),AC=(4,l,a),AD=(6,
b,-2).
⑴若四边形ABCD为平行四边形,求实数a,b的值；
(2)若四边形ABCD的对角线互相垂直,求实数a,b满足的关系式.
题组四利用空间向量的坐标运算求夹角和模
13.(2022河北沧州东光第一中学月考)已知向量a=(l,2,3),|c=V14,若a-c=-7,
则a与c的夹角为()
A.30°B,60°C.120°D.150°
14.若AABC的三个顶点分别为A(0,0,V2),V2),
C(-1。夜)，则角A的大小为.
15.(2022重庆万州第二高级中学月考)已知点A(l,2,1),B(-1,3,4),D(1,1,1),若
AP=2PB,贝！J|丽=.
16.已知点A(0,1,2),B(1,—1,3),C(1,5,-L).
⑴若D为线段BC的中点,求线段AD的长；
⑵若而=(2,a,1),且荏«而=1,求a的值，并求此时向量荏与刀夹角的余弦
值.
17.已知正三棱柱ABC-AiBC中，AB=2,AB」BCi,点0,01分别是边AC,AC的中点,
建立如图所示的空间直角坐标系.
(1)求正三棱柱的侧棱长;
(2)求异面直线AB】与BC所成角的余弦值.
4
G
y
X
能力提升练
题组一空间向量的坐标运算
1.(2021山东师范大学附属中学月考)已知a=(l,2,2),b=(-2,1,1),则向量b在a
上的投影向量为()
44244
A--B
9-9-9-9-9-
21121
--D-
33-3-3-3-
2.(2022广东深圳宝安第一外国语学校月考)已知0为坐标原点，向量
a=(1,2,3),丽=(2,1,2),而=(1,1,2),点Q在直线OP上运动,则当训•砺取得
最小值时，点Q的坐标为()
13134
---B/-1--
24323
2
4847
/-4--/-4--
V333V333
3.(2022河南濮阳范县一中月考)已知向量2=(1,1,0)/=(-1,0,2),若向量a+kb
与2a+b所成角为锐角，则实数k的取值范围为.
题组二空间向量的平行和垂直问题
4.(2022福建A佳大联考)已知空间向量m=(-1,x,2),n=(l,3,y)
(x>0,y〉0),若则xy的最大值是()
1
V6一
-
66
c—12
5.（2021江西新余一中、宜春一中联考）如图所示，在正方体ABCD-ABCD中,0是
底面正方形ABCD的中心,M是DiD的中点,N是AB的中点,则直线NO,AM的位置关
系是（）
A.平行B.相交
C.异面垂直D.异面不垂直
6.（2022广东东莞四中期中）已知棱长为1的正方体ABCD-ABCD中,M为BC的中
点,N为侧面DCCD内的动点（包括边界），若MNLAiC,则三棱锥N-AAJ3的体积的最
小值为（）
A•得
7.（多选）（2020海南海口海南中学月考）如图所示,正方体ABCD-ABCD中,AB=1,
点P在侧面BCCB上运动,并且总是保持APLBDi,则以下结论正确的是（）
1
A.Vp-AA^二3B.点P必在线段BiC上
C.APXBCiD.AP〃平面AiCiD
题组三空间向量的夹角和模问题
8.（2022河南中原名校联考）如图,在三棱锥P-ABC中，ZXABC为等边三角形,APAC
为等腰直角三角形,PA=PC=4,平面PAC_L平面ABC,D为AB的中点，则异面直线AC
与PD所成角的余弦值为（
P
9.（2020四川内江三模）如图所示的几何体由半圆柱体与直三棱柱构成，半圆柱体
底面直径BC=4,AB=AC,ZBAC=90°,D为半圆弧的中点，若异面直线BD和AB1所成
角的余弦值为|,则该几何体的体积为（）
A
A.16+8JiB.32+16Ji
C.32+8nD.16+16Ji
10.（2022山东省实验中学月考）在直三棱柱ABC-ARG
中，NBACg,AB=AC=AA1=1,G,E分别为AB,CG的中点,D,F分别为线段AC,AB上的
动点（不包括端点），若GDXEF,则线段DF的长度的取值范围为（）
A・偿，1）B.怜1]
C.呼,1）D.[等,1）
11.（2020山西太原第五中学月考）如图，以棱长为1的正方体的三条共顶点的棱
所在直线为坐标轴,建立空间直角坐标系Oxyz,点P在线段AB上,点Q在线段DC
上.
⑴当PB=2AP,且点P关于y轴的对称点为M时，求|PM|;
⑵当点P是AB的中点，点Q在DC上运动时，探究|PQ|的最小值.
答案全解全析
基础过关练
1.ABD根据“关于谁对称谁不变”知A,B正确；（2,-1,3）到平面Oyz的距离为
2,，C错误;根据空间向量坐标的定义知D正确.
2.A由题意得M（2,1,-2）,.,.点M关于平面Oyz对称的点的坐标为（-2,1,-2）.故
选A.
3.答案《，!，()
解析由题意知A(a,0,0),B(0,b,0),C(0,0,c).由重心坐标公式得点G的坐标为
13，3，37,
4.C因为向量a《2,0,-1),所以2a=(4,0,-2),又向量b=(0,1,-2),所以
2a-b=(4,0,-2)-(0,1,-2)=(4,-1,0).故选C.
5.B设B(x,y,z),由加二通得(5,-1,2)=(x-4,y-2,z+1),
x-4=5,(x=9,
Ay-2=-1,：.y=1,••.点B的坐标为(9,1,1).
.z+1=2,(z=1.
6.答案3
解析由A,B,C,D四点共面，知三人，u£R,使得荏二入方+口布,
又费=(1,1,1),前二(1,2,-1),而=(x,4,1),
X+X[i=1,(X3；
故2A+4/z=1,解得-2,
-A+[1=1,g.
7.答案-2
解析易得c-a=(0,0,-1),2b=(2,4,2),A(c-a)-2b=0+0-2=-2.
8.C易得丽二(1,T,3),前=(a-l,-2,b+4),
,乐与前共线,.•.正入福
(a-l,~2,b+4)=(入，一入，3人)，
a-l=A,fa=3,
•,>-2=-2,解得b=2,故选C.
力+4=3A,(.2=2.
9.ABCa•b=lX2+(-1)X2+1X(-2)=-2,所以A中说法不正确；
(1=22,
设a=入b,则(1,T,1)=入(2,2,-2),即-1=2九无解,所以B中说法不正确;
.1=~2A,
因为a•b=-2#0,所以li与L不垂直,所以C中说法不正确；
cos<a,b>|=2=|,所以D中说法正确.
V3X2V33
故选ABC.
10.D由题意得而=(-6,1,2k),CA=(-3,2,-k).
VZC=90°,CB•?1=-6X(-3)+lX2+2kX(-k)=-2k2+20=0,.*^=±710.故选
D.
11.D易得荏=(1,入-2,0),就=(3,0,k-3).
若0AJ_平面ABC,^\OA±AB,OA±AC,
即反•四二1+2(入-2)=0,a•芯=3+3(k-3)=0,所以人=|,k=2,故人+k=(.故选
D.
12.解析⑴因为屈=(-2,3,5),AC=(4,1,a),且「月,所以南,而不共线.
41
由四边形ABCD为平行四边形,知前=荏+前，
所以(4,l,a)=(-2,3,5)+(6,b,-2),
所以a=3,b=—2.
(2)由题意得前二通-前二(8,b-3,-7).
因为四边形ABCD的对角线互相垂直，所以前•AC=0,即32+b-3-7a=0,亦即
7a-b-29=0.
13.C|a|=，12+22+32=04所以cos〈a,6=$巳=」,
a||c|2
所以〈a,c〉=120°.
14.答案30°
解析由题意知而=(-*|,0),就=(-1,0,0),所以AB=1,AC=1,所以
—>—>叵！-
C°SA=3年二日喙故角人的大小为3。。•
15.答案?
解析设P(x,y,z),则族=(x-1,y-2,zT),~PB=(T-x,3-y,4-z).
由据2方,得(x-1,y-2,z-l)=2(-1-x,3-y,4-z),
/-X="Py=?z』葭3)
故而=Ci，-2)，，F=¥
16.解析⑴由题意得D(l,2,1),.•.通=(1,1,-1),
AD|=V1+1+1=V3,即线段AD的长为百.
(2)易矢口通=(1,一2,1),.•.南•荷=2-2a+l=l,解得a=l,
：.AD=(2,1,1).
cos<M而>=
AB\ADV6XV66
即向量荏与而夹角的余弦值为士
6
17.解析(1)设正三棱柱的侧棱长为h.
由题意得A(0,-1,O),B(g,0,0),C(0,l,O),Bi(g,O,h),G(O,l,h),则
砧二(g,l,h),跖=(Sl,h).因为AB」BCi,所以福•BQ=-3+l+h=0,所以
h=&(负值舍去).故正三棱柱的侧棱长为VI
⑵由(1)可知砧=(旧,1,虎),1,0),
所以福•就=-3+1=-2,|AB7l=V6,|就|二2,
所以cos〈福,
2V66
所以异面直线AB】与BC所成角的余弦值为粤.
6
能力提升练
l.BVa=(l,2,2),b=(-2,1,1),
.*.a•b=lX(-2)+2Xl+2Xl=2,
向量a方向上的单位向量e=£=G，|,|),
a\333/
•••向量b在a上的投影向量为审6=花，2,勺.故选B.
Ia|3333/999/
2.C因为点Q在直线0P上运动,所以加〃市.
设丽=t而，则Q(t,t,2t),
所以训=(1-1,2-t,3-2t),QB=(2-t,1-t,2-2t),
所以碗•QB=(l-t)(2-t)+(2-t)(l-t)+(3-2t)(2-2t)=6t-16t+10
2
=6(t-|)-|,故当时，(诃•Q5)min=-|,止匕时Q《，I，I).故选C.
3.答案｛k区>-1且女工?
解析易得a+kb=(l-k,1,2k),2a+b=(l,2,2).
由题意得(a+kb),(2a+b)>0且a+kb,2a+b不共线，
l-k+2+4k>0,且甘［子不成立,
解得k>-l且k#|,
•••实数k的取值范围为｛々|k>-1且kH
4.D由题意得m±n=-lXl+3x+2y-0,即3x+2y=l.
因为x>0,y>0,所以l=3x+2y，2j3%X2y,角军得xyW(，当且仅当3x=2y=；,即
x=gy=；时取等号.故选D.
64
5.C建立空间直角坐标系，如图所示.设正方体的棱长为2,则
A(2,0,0),M(0,0,1),0(1,1,0),N(2,1,2),而=(-1,0,-2),AM=(-2,0,1).V
而«俞=0,.•.直线NO,AM的位置关系是异面垂直.故选C.
6.B以D为坐标原点,DA,DC,DDi所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐
标系，则4(1,0,1),C(0,1,0),，1,0).
设N(0,a,b),OWaWl,OWbW1,•,•布=(-1,1,T),而=(6,aT,b).
VMN±A1C,：.^4N・J^C=|+a-l-b=O,即a-b=1,
易知点N到平面AAxD的距离为其纵坐标的绝对
a=
值，，KV-AAID=],S"A]D*ll-|a|-
•二祗故选B.
7.BDP在侧面BCCB上运动，平面BCCiBi〃平面AADD,，P到平面AADD的距
离即为C到平面AADD的距离，即为正方体的棱
长，.•.I/P_4AID=1SA44ID*CD=|X|X1X1X1=：,故A中结论错误.
以D为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(1,O,O),P(x,l,z)(OWxWl,OWzWl),B(l,l,O),Di(O,0,1),
B^l,1,l),C(0,1,0),.,.IP=(x-l,l,z),W=(-l>-hD,^C=(-l,0,-l).
VAPXBDj,：.AP・西=l—xT+z=0,.x=z,
.*.P(x,1,x),.•.济(x,0,x),：.CP=~xB^C,即Bi,P,C三点共线，，P必在线段BiC
上，故B中结论正确.
易知Ci(0,1,1),•••跖=(-1,0,1),又据(X-1,l,x),
：.AP•BQ=l-x+x=l,AAP与BG不垂直,故C中结论错误.
易知4(1,0,l),D(0,0,0),J病=(-1,1,0),两=(1,0,1),又
IP=(x-l,1,x),.,.正x两+1^(其中OWxWl),两,4c共面,又APQ平
面ACD,，AP〃平面ACD,故D中结论正确.故选BD.
8.B取AC的中点0,连接OP,0B.
VPA=PC,.*.AC±OP.
平面PAC平面ABC,平面PACA平面ABC=AC,
.•.OP,平面ABC.
VAB=BC,.*.AC±OB.
以0为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,
「△PAC是等腰直角三角形,PA=PC=4,AABC为等边三角形，
.*.A(2V2,0,0),C(-2V2,0,0),P(0,0,2V2),D(V2,V6,0),
.=(-4V2,0,0),~PD=(V2,V6,-2V2),